专题3.11函数零点问题（新高考）（原卷版）【优秀范文】

文章来源：网友投稿时间：2022-07-12 18:18:02

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　专题 3.11

　函数的零点问题

　1．由零点求参数的值或取值范围的常用方法与策略：

　（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解；（3）分类参数法：一般命题情境为给出区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为从   f x 中分离参数，然后利用求导的方法求出由参数构造的新函数的最值，根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数的取值范围；（4）分类讨论法：一般命题情境为没有固定的区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为结合函数的单调性，先确定参数分类标准，在每个小范围内研究零点的个数是否符合题意，将满足题意的参数的各个小范围并在一起，即可为所求参数的范围． 2．判断零点个数的常用方法与策略：

　（1）直接法：令 ( ) 0 f x  ，如果能求出解，那么有几个不同的解就有几个零点；（2）利用函数的零点存在性定理：利用函数的零点存在性定理时，不仅要求函数的图象在区间 [], a b 上是连续不断的曲线，并且 ( ) ( ) 0 f a f b   ，还必须结合函数的图象与性质，（如单调性、奇偶性）才能确定函数有多少个零点；（3）图象法：画出函数   f x 的图象，函数   f x 的图象与 x 轴交点的个数就是函数  f x 的零点个数；将函数   f x 拆成两个函数，   h x 和   g x 的形式，根据      0 f x h x g x    ，则函数   f x 的零点个数就是函数   y h x  和( )y g x = 的图象交点个数；（4）利用函数的性质：若能确定函数的单调性，则其零点个数不难得到，若所考查的函数是周期函数，则需要求出在一个周期内的零点个数，根据周期性则可以得出函数的零点个数．

　【预测题 1】已知函数       1 ln 1 f x x x a x     ．（1）若 1 a ，比较  2log 10 f与  5log 9 f 的大小；（2）讨论函数   f x 的零点个数．

　【预测题 2】已知函数    11 ln e f x a xx    ，     e x g x x a a    R ．（1）试讨论函数   f x 的单调性；（2）若当 1  x 时，关于 x 的方程     f x g x  有且只有一个实数解，求实数 a 的取值范围．

　【预测题 3】已知函数   e 2xf x ax   ，  22 sin 1 g x a x x    ，其中 e 是自然对数的底数，aR ．（1）试判断函数   f x 的单调性与极值点个数；（2）若关于 x 的方程     0 af x g x   在   0,  上有两个不等实根，求实数 a 的最小值．

　【预测题 4】已知函数     sin 1 f x mx x x m    R ．（1）求曲线   y f x  在点     0, 0 f 处的切线方程；（2）当12m  时，求函数     e x g x f x    （   f x  为   f x 的导函数）在   0,  上的零点个数．

　【预测题 5】已知函数     e sinxf x x a x a   R ．（1）若   0,π x   ，  0 f x  ，求 a 的取值范围；（2）当 59 a 时，试讨论   f x 在  0,2π 内零点的个数，并说明理由．

　【预测题 6】已知函数      2e Rxf x x m m   在     0, 0 f 处的切线斜率为 3  （e 为自然对数的底数）．（1）求函数   f x 的最值；（2）设   f x为   f x 的导函数，函数   ln3h a xxf xx  仅有一个零点，求实数 a 的取值范围．

　【预测题 7】设函数    212lnxf x a x xx   ， aR ．（1）当 1 a 时，讨论   f x 的单调性；（2）若   f x 有两个零点，求实数 a 的取值范围．

　【预测题 8】已知函数    2ln 2 f x x x ax a R      ．（1）当 3 a  时，求 f（x）的极值；（2）若函数 f（x）至少有两个不同的零点，求 a 的最大值．

　【预测题 9】已知函数     ln 0af x x a x b a     ．（1）求函数   f x 的单调区间；（2）若0, 1 a b   ，证明：

　  f x 存在两个零点1 2, x x ，且1 22a ax x   ．

　【预测题 10】已知函数 ( ) ln ( 0)af x x a x b a     ．（1）求函数( ) f x 的单调区间（2）若0, 1 a b   ，证明：

　( ) f x 存在两个零点1 2, x x ，且1 22a ax x   ．

　【预测题 11】已知函数   exf x ax a    ，其中 e 是自然对数底．（1）求   f x 的极小值；（2）当 0 a  时，设   f x为   f x 的导函数，若函数   f x 有两个不同的零点 12, x x ，且1 2x x ，求证：1 21 22(3ln )x xf a fx x    ．

　【预测题 12】已知函数     e x f x a x a R    ．（1）若   f x 在   0,   上是增函数，求 a 的取值范围；（2）若 12, x x 是函数   f x 的两个不同的零点，求证：1 21 2ln ln2 x x a    ．

　【预测题 13】已知函数   sin cos f x x x x   ．（1）求   f x 在π π[ , ]2 2 上的值域；（2）若函数    2g x f x ax   ( )π2 2πx    ，试讨论   g x 的零点个数．

　【预测题 14】设函数     2ln 1 f x x m x m    R ．（1）若 1 m ，求曲线   f x 在点     0, 0 f 处的切线方程；（2）若函数   f x 在区间   0,1 上存在唯一零点，求实数 m 的取值范围．

　【预测题 15】已知函数   lnbf x x axx   ，且正数 a，b 满足3 32a b b aa b （1）讨论 f（x）的单调性；（2）若     ln F x x m nx e     的零点为1x ，2x ，且 m，n 满足3, (1 )2n n m e    ，求证： 1 222 1m mn ex xn  ．（其中 2.71828 e  ……是自然对数的底数）

　【预测题 16】已知函数    23ln 32    f x a x x a x ， R a ．（1）若曲线   y f x  在点     2 2 f , , 处的切线的斜率为 4，求 a 的值；（2）当 0 a  时，求   f x 的单调区间；（3）已知   f x 的导函数在区间   1,e 上存在零点．求证：当   1,e x 时，  23e2f x   ．

　【预测题 17】设 m 为实数，函数( ) ln 2 f x x mx  ．（1）当 1 m 时，求函数( ) f x 的单调区间；（ 2 ）

　若方程( ) (2 1) 2( ) f x m x n n     R有两个实数根  1 2 1 2, x x x x  ，证明：1 22 e x x  ．（注：

　e 2.71828   是自然对数的底数）

　【预测题 18】已知函数     ln 1 e x f x a x x    ．（1）若e a ，证明：

　  0 f x  ；（2）若   f x 有两个不同的零点，求实数 a 的取值范围．

　【预测题 19】已知函数   2 e x f x x a    ，（1）当 1 a 时，讨论   f x 的单调性；（2）当 0 e a   时，证明：

　  f x 有 2 个零点．

　【预测题 20】已知   ln f x x  ，  1g x xx  ．（1）证明：函数       h x f x g x   在   0,   上有且仅有一个零点；（2）若函数       F x f x g x    在   0,   上有 3 个不同零点，求实数  的取值范围．

　【预测题 21】已知函数   enxf x x nx   （*n N  且 2 n ）的图象与 x 轴交于 P，Q 两点，且点 P 在点 Q 的左侧．（1）求点 P 处的切线方程   y g x  ，并证明：

　0 x  时，     f x g x  ．（2）若关于 x 的方程   f x t  （t 为实数）有两个正实根1 2, x x ，证明：1 22 lnlnt nx xn n n   ．

　【预测题 22】已知函数  33xf xx，   sin g x b x  ，曲线   y f x  和   y g x  在原点处有相同的切线 l．（1）求 b 的值以及 l 的方程；（2）判断函数       h x f x g x   在   0,   上零点的个数，并说明理由．

　【预测题 23】已知函数    e 1  axf x x， 0 a  ．（1）当 a＝2 时，求曲线   y f x  在     1, 1 f 处的切线方程；

　（2）讨论关于 x 的方程   e 1  axf x 的实根个数．

　【预测题 24】已知函数   e 1xf x x    ，   0, x   ．（1）判断函数    1sin2g x f x x x   的单调性；（2）当12a  时，判断函数     sin h x f x ax x   的零点个数．

　【预测题 25】已知函数   sin cos f x x x x   ．（1）讨论   f x 在   0,π 上的单调性；（2）若    214xg x f x    ，证明：函数   g x 在 R 上有且仅有三个零点．

　【预测题 26】已知31 1( ) ( 1)e ( )3 3xf x x ax a a     R ．（1）若函数( ) f x 在 [0, )  上单调递增，求 a 的取值范围；（2）当e a„时，讨论函数( ) f x 零点的个数．

　【预测题 27】设函数  21 cos f x mx x   

　（1）当12m  时，求证：

　 0 f x  （2）若   f x 有唯一零点，求正实数 m 的取值范围．

　【预测题 28】已知函数   e sinxf x x ax  

　（1）若 1 a ，判断 f（x）在（2 ，0）的单调性；（2）从下面两个条件中选一个，求 a 的取值范围． ①f（x）在[0，2]上有且只有 2 个零点； ②当2, 0 x    时，  2f x x  ．

　【预测题 29】已知函数  2e x f x ax x x    （其中 e 为自然对数的底数）．（1）若 1 a ，证明：当   0, x  时，   0 f x  恒成立；（2）已知函数  y f x x   在 R 上有三个零点，求实数 a 的取值范围．

　【预测题 30】已知函数2( ) ln(2 1) f x x x ax    ．（1）求曲线( ) y f x 在点 (0,(0)) f处的切线方程；（2）当 0 a 时，求证：

　函数( ) f x 存在极小值；（3）请直接写出函数( ) f x 的零点个数．

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